3.468 \(\int (a+b \sinh ^2(e+f x))^{3/2} \tanh ^5(e+f x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=232 \[ \frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 f (a-b)^2}+\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 f (a-b)}-\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a-b}}\right )}{8 f \sqrt{a-b}}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{4 f (a-b)}+\frac{(8 a-9 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{8 f (a-b)^2} \]

[Out]

-((8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(8*Sqrt[a - b]*f) + ((8*a^2 - 40
*a*b + 35*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*(a - b)*f) + ((8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)
^(3/2))/(24*(a - b)^2*f) + ((8*a - 9*b)*Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(8*(a - b)^2*f) - (Sech
[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(4*(a - b)*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.290255, antiderivative size = 232, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.24, Rules used = {3194, 89, 78, 50, 63, 208} \[ \frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 f (a-b)^2}+\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 f (a-b)}-\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a-b}}\right )}{8 f \sqrt{a-b}}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{4 f (a-b)}+\frac{(8 a-9 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{8 f (a-b)^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x]^5,x]

[Out]

-((8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]])/(8*Sqrt[a - b]*f) + ((8*a^2 - 40
*a*b + 35*b^2)*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(8*(a - b)*f) + ((8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)
^(3/2))/(24*(a - b)^2*f) + ((8*a - 9*b)*Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(8*(a - b)^2*f) - (Sech
[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(4*(a - b)*f)

Rule 3194

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sin[e + f*x]^2, x]}, Dist[ff^((m + 1)/2)/(2*f), Subst[Int[(x^((m - 1)/2)*(a + b*ff*x)^p)/(1 - ff*x)^((
m + 1)/2), x], x, Sin[e + f*x]^2/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 89

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[((b*c - a*
d)^2*(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/(d^2*(d*e - c*f)*(n + 1)), x] - Dist[1/(d^2*(d*e - c*f)*(n + 1)), In
t[(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^p*Simp[a^2*d^2*f*(n + p + 2) + b^2*c*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)) - 2*a*b*d*(d*e*
(n + 1) + c*f*(p + 1)) - b^2*d*(d*e - c*f)*(n + 1)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && (LtQ
[n, -1] || (EqQ[n + p + 3, 0] && NeQ[n, -1] && (SumSimplerQ[n, 1] ||  !SumSimplerQ[p, 1])))

Rule 78

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> -Simp[((b*e - a*f
)*(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e)), x] - Dist[(a*d*f*(n + p + 2) - b*(d*e*(n + 1)
+ c*f*(p + 1)))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e)), Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f,
n}, x] && LtQ[p, -1] && ( !LtQ[n, -1] || IntegerQ[p] ||  !(IntegerQ[n] ||  !(EqQ[e, 0] ||  !(EqQ[c, 0] || LtQ
[p, n]))))

Rule 50

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n)/(b*
(m + n + 1)), x] + Dist[(n*(b*c - a*d))/(b*(m + n + 1)), Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[m + n + 1, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (G
tQ[m, 0] && LtQ[m - n, 0]))) &&  !ILtQ[m + n + 2, 0] && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2} \tanh ^5(e+f x) \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^2 (a+b x)^{3/2}}{(1+x)^3} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{2 f}\\ &=-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{4 (a-b) f}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (\frac{1}{2} (-4 a+5 b)+2 (a-b) x\right ) (a+b x)^{3/2}}{(1+x)^2} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{4 (a-b) f}\\ &=\frac{(8 a-9 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{8 (a-b)^2 f}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{4 (a-b) f}+\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a+b x)^{3/2}}{1+x} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{16 (a-b)^2 f}\\ &=\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 (a-b)^2 f}+\frac{(8 a-9 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{8 (a-b)^2 f}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{4 (a-b) f}+\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x}}{1+x} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{16 (a-b) f}\\ &=\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 (a-b) f}+\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 (a-b)^2 f}+\frac{(8 a-9 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{8 (a-b)^2 f}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{4 (a-b) f}+\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1+x) \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\sinh ^2(e+f x)\right )}{16 f}\\ &=\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 (a-b) f}+\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 (a-b)^2 f}+\frac{(8 a-9 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{8 (a-b)^2 f}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{4 (a-b) f}+\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}\right )}{8 b f}\\ &=-\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a-b}}\right )}{8 \sqrt{a-b} f}+\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{8 (a-b) f}+\frac{\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 (a-b)^2 f}+\frac{(8 a-9 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{8 (a-b)^2 f}-\frac{\text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{4 (a-b) f}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 1.63614, size = 169, normalized size = 0.73 \[ -\frac{-\left (8 a^2-40 a b+35 b^2\right ) \left (\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \left (4 a+b \sinh ^2(e+f x)-3 b\right )-3 (a-b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{\sqrt{a-b}}\right )\right )+6 (a-b) \text{sech}^4(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}-3 (8 a-9 b) \text{sech}^2(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{24 f (a-b)^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2)*Tanh[e + f*x]^5,x]

[Out]

-(-3*(8*a - 9*b)*Sech[e + f*x]^2*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2) + 6*(a - b)*Sech[e + f*x]^4*(a + b*Sinh[e + f*x
]^2)^(5/2) - (8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*(-3*(a - b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]/Sqrt[a - b]] + Sq
rt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*(4*a - 3*b + b*Sinh[e + f*x]^2)))/(24*(a - b)^2*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.122, size = 71, normalized size = 0.3 \begin{align*}{\frac{1}{f}\mbox{{\tt ` int/indef0`}} \left ({\frac{ \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{5} \left ({b}^{2} \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{4}+2\,ab \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}+{a}^{2} \right ) }{ \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{6}}{\frac{1}{\sqrt{a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}}},\sinh \left ( fx+e \right ) \right ) } \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2)*tanh(f*x+e)^5,x)

[Out]

`int/indef0`(sinh(f*x+e)^5*(b^2*sinh(f*x+e)^4+2*a*b*sinh(f*x+e)^2+a^2)/cosh(f*x+e)^6/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2)
,sinh(f*x+e))/f

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \tanh \left (f x + e\right )^{5}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2)*tanh(f*x+e)^5,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(3/2)*tanh(f*x + e)^5, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 9.4306, size = 16471, normalized size = 71. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2)*tanh(f*x+e)^5,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/48*(3*((8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^11 + 11*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e
)^10 + (8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*sinh(f*x + e)^11 + 4*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^9 + (55*(8*a^2 -
40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 32*a^2 - 160*a*b + 140*b^2)*sinh(f*x + e)^9 + 3*(55*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b
^2)*cosh(f*x + e)^3 + 12*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^8 + 6*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2
)*cosh(f*x + e)^7 + 6*(55*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 24*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x +
e)^2 + 8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*sinh(f*x + e)^7 + 42*(11*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 8*(8*a^2
- 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^6 + 4*(8*a^2 - 40*
a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 2*(231*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 252*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^
2)*cosh(f*x + e)^4 + 63*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 16*a^2 - 80*a*b + 70*b^2)*sinh(f*x + e)^5
+ 2*(165*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 252*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 105*(8*a^
2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 10*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^4 + (8*a^2 -
40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (165*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^8 + 336*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b
^2)*cosh(f*x + e)^6 + 210*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 40*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x +
e)^2 + 8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*sinh(f*x + e)^3 + (55*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^9 + 144*(8*a^2 -
40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 126*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 40*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^
2)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2 + (11*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2
)*cosh(f*x + e)^10 + 36*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^8 + 42*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)
^6 + 20*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 3*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)
)*sqrt(a - b)*log((b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(4*a - 3*b)*c
osh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 4*a - 3*b)*sinh(f*x + e)^2 - 4*sqrt(2)*sqrt(a - b)*sqrt((b*cosh(f*x
+ e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))*(co
sh(f*x + e) + sinh(f*x + e)) + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (4*a - 3*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)/(cosh(f*x
+ e)^4 + 4*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*cosh(f*x + e)^2 + 1)*sinh(f*x + e)^2 + 2*cos
h(f*x + e)^2 + 4*(cosh(f*x + e)^3 + cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + 1)) + 2*sqrt(2)*((a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^
12 + 12*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^11 + (a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^12 + 2*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2
)*cosh(f*x + e)^10 + 2*(33*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*sinh(f*x + e)^10 + 20*(11*(a
*b - b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^9 + (112*a^2 - 335*a*b + 22
3*b^2)*cosh(f*x + e)^8 + (495*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 90*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 112
*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*sinh(f*x + e)^8 + 8*(99*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 30*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*c
osh(f*x + e)^3 + (112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^7 + 8*(18*a^2 - 59*a*b + 41*b^2)*c
osh(f*x + e)^6 + 4*(231*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 105*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 7*(112*a
^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 36*a^2 - 118*a*b + 82*b^2)*sinh(f*x + e)^6 + 8*(99*(a*b - b^2)*cosh(
f*x + e)^7 + 63*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 7*(112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^3 +
6*(18*a^2 - 59*a*b + 41*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^4 +
(495*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^8 + 420*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 70*(112*a^2 - 335*a*b + 223
*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 120*(18*a^2 - 59*a*b + 41*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*sinh(f*x
+ e)^4 + 4*(55*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^9 + 60*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 14*(112*a^2 - 335
*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 40*(18*a^2 - 59*a*b + 41*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2
)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 2*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(33*(a*b - b^2)*cosh(f*x +
e)^10 + 45*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^8 + 14*(112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 60*(
18*a^2 - 59*a*b + 41*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 3*(112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 25*a*b +
17*b^2)*sinh(f*x + e)^2 + a*b - b^2 + 4*(3*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^11 + 5*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*
x + e)^9 + 2*(112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 12*(18*a^2 - 59*a*b + 41*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + (
112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt((b
*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x +
e)^2)))/((a - b)*f*cosh(f*x + e)^11 + 11*(a - b)*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^10 + (a - b)*f*sinh(f*x + e)^11
+ 4*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^9 + (55*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^2 + 4*(a - b)*f)*sinh(f*x + e)^9 + 6*(a - b)*f*co
sh(f*x + e)^7 + 3*(55*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^3 + 12*(a - b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^8 + 6*(55*(a - b)*
f*cosh(f*x + e)^4 + 24*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a - b)*f)*sinh(f*x + e)^7 + 4*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^5 +
42*(11*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^5 + 8*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^3 + (a - b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^6 + 2*
(231*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^6 + 252*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^4 + 63*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^2 + 2*(a - b)*f)*s
inh(f*x + e)^5 + (a - b)*f*cosh(f*x + e)^3 + 2*(165*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^7 + 252*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^5
+ 105*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^3 + 10*(a - b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^4 + (165*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^8
+ 336*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^6 + 210*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^4 + 40*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a - b)*f)*s
inh(f*x + e)^3 + (55*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^9 + 144*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^7 + 126*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^5
+ 40*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^3 + 3*(a - b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2 + (11*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^10
+ 36*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^8 + 42*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^6 + 20*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^4 + 3*(a - b)*f*cos
h(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)), -1/24*(3*((8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^11 + 11*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b
^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^10 + (8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*sinh(f*x + e)^11 + 4*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*
cosh(f*x + e)^9 + (55*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 32*a^2 - 160*a*b + 140*b^2)*sinh(f*x + e)^9
+ 3*(55*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 12*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^
8 + 6*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 6*(55*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 24*(8*a^2
- 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*sinh(f*x + e)^7 + 42*(11*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^
2)*cosh(f*x + e)^5 + 8*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e))*si
nh(f*x + e)^6 + 4*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 2*(231*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^6
+ 252*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 63*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 16*a^2 - 80*
a*b + 70*b^2)*sinh(f*x + e)^5 + 2*(165*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 252*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^
2)*cosh(f*x + e)^5 + 105*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 10*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e
))*sinh(f*x + e)^4 + (8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (165*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^
8 + 336*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 210*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 40*(8*a^2
- 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*sinh(f*x + e)^3 + (55*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*
cosh(f*x + e)^9 + 144*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 126*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^
5 + 40*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2
+ (11*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^10 + 36*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^8 + 42*(8*a^2 -
40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 20*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 3*(8*a^2 - 40*a*b + 35*b^2)*
cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e))*sqrt(-a + b)*arctan(-1/2*sqrt(2)*sqrt(-a + b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh
(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/((a - b)*cosh(f*x
+ e) + (a - b)*sinh(f*x + e))) - sqrt(2)*((a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^12 + 12*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x
+ e)^11 + (a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^12 + 2*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^10 + 2*(33*(a*b - b^2)*cos
h(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*sinh(f*x + e)^10 + 20*(11*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (8*a^2 - 25*a*
b + 17*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^9 + (112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^8 + (495*(a*b - b^2)*
cosh(f*x + e)^4 + 90*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*sinh(f*x + e)^8
+ 8*(99*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 30*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (112*a^2 - 335*a*b + 223*
b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^7 + 8*(18*a^2 - 59*a*b + 41*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 4*(231*(a*b - b^2)*cosh(f
*x + e)^6 + 105*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 7*(112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^2 +
36*a^2 - 118*a*b + 82*b^2)*sinh(f*x + e)^6 + 8*(99*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 63*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*
cosh(f*x + e)^5 + 7*(112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + 6*(18*a^2 - 59*a*b + 41*b^2)*cosh(f*x + e)
)*sinh(f*x + e)^5 + (112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + (495*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^8 + 420*(8*
a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 70*(112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 120*(18*a^2 - 59*a
*b + 41*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(55*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^
9 + 60*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^7 + 14*(112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + 40*(18*a
^2 - 59*a*b + 41*b^2)*cosh(f*x + e)^3 + (112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + 2*(8*a^
2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(33*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^10 + 45*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(
f*x + e)^8 + 14*(112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 60*(18*a^2 - 59*a*b + 41*b^2)*cosh(f*x + e)^4
+ 3*(112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + 8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*sinh(f*x + e)^2 + a*b - b^2 + 4*(
3*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^11 + 5*(8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e)^9 + 2*(112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)
*cosh(f*x + e)^7 + 12*(18*a^2 - 59*a*b + 41*b^2)*cosh(f*x + e)^5 + (112*a^2 - 335*a*b + 223*b^2)*cosh(f*x + e)
^3 + (8*a^2 - 25*a*b + 17*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a
- b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/((a - b)*f*cosh(f*x + e)^11 + 11*(
a - b)*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^10 + (a - b)*f*sinh(f*x + e)^11 + 4*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^9 + (55*(a -
b)*f*cosh(f*x + e)^2 + 4*(a - b)*f)*sinh(f*x + e)^9 + 6*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^7 + 3*(55*(a - b)*f*cosh(f*x +
e)^3 + 12*(a - b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^8 + 6*(55*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^4 + 24*(a - b)*f*cosh(f*x
+ e)^2 + (a - b)*f)*sinh(f*x + e)^7 + 4*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^5 + 42*(11*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^5 + 8*(a -
b)*f*cosh(f*x + e)^3 + (a - b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^6 + 2*(231*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^6 + 252*(a -
b)*f*cosh(f*x + e)^4 + 63*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^2 + 2*(a - b)*f)*sinh(f*x + e)^5 + (a - b)*f*cosh(f*x + e)^3
+ 2*(165*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^7 + 252*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^5 + 105*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^3 + 10*(a -
b)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^4 + (165*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^8 + 336*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^6 + 210*(a
- b)*f*cosh(f*x + e)^4 + 40*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^2 + (a - b)*f)*sinh(f*x + e)^3 + (55*(a - b)*f*cosh(f*x +
e)^9 + 144*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^7 + 126*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^5 + 40*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^3 + 3*(a - b
)*f*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^2 + (11*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^10 + 36*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^8 + 42*(a - b
)*f*cosh(f*x + e)^6 + 20*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^4 + 3*(a - b)*f*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sinh(f*x+e)**2)**(3/2)*tanh(f*x+e)**5,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \tanh \left (f x + e\right )^{5}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2)*tanh(f*x+e)^5,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(3/2)*tanh(f*x + e)^5, x)